PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL
Konsep Nilai Mutlak
Misalkan x bilangan real, |x|
dibaca nilai mutlak x, dan didefinisikan
---------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------
Contoh
Tentukan |2x – 1|untuk x bilangan
real.
Jawab
Untuk x jika
x ≥ 0
2x – 1 ≥ 0
2x ≥ 1
x ≥ 
Untuk x jika
x < 0
- (2x – 1) < 0
-2x < -1
x <
Maka
Latihan
Gunakan Definisi diatas untuk menentukan nilai mutlak berikut.
a. Tentukan |x + 2| untuk x bilangan
real.
b. Tentukan |x – 3|untuk x bilangan
real.
c. Tentukan |2 x + 3| untuk x bilangan
real.
d. Tentukan |–2 x + 5| untuk x bilangan
real.
e. Tentukan 
untuk x bilangan
real.
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
Persamaan
Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
Sifat
---------------------------------------------------------------------------
Untuk setiap a, b,
c,
dan x bilangan
real dengan a
≠
0.
1. Jika |ax
+ b|
= c dengan
c ≥ 0,
maka salah satu sifat berikut ini berlaku.
i.
|ax +
b|
= c,
untuk x ≥ –
ii.
–(ax +
b)
= c, untuk x <
–
2. Jika |ax
+ b|
= c dengan
c <
0, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi
persamaan
|ax + b|
= c.
---------------------------------------------------------------------------
Contoh
Tentukan nilai x (jika ada) yang memenuhi
setiap persamaan |2x – 1| = 7
Jawab
Pertama, kita akan mengubah bentuk |2x –
1|
Akibatnya diperoleh 2 persamaan, yaitu
sebagai berikut.
Untuk x ≥ ,
2x
– 1 = 7,
2x
= 7 + 1,
2x
= 8 atau
x
= 4
Untuk x < ,
(2x
– 1) = 7,
–2x
+ 1 = 7,
–2x
= 7 – 1,
–2x
= 6 atau
x
= –3
Jadi, nilai x = 4 atau x = –3
memenuhi persamaan nilai mutlak |2x – 1| = 7.
Contoh
Tentukan nilai x (jika ada)
yang memenuhi setiap persamaan |x + 5| = –6
Jawab
Jika |ax
+ b|
= c dengan
c <
0, maka tidak ada bilangan real x
yang memenuhi
persamaan |ax
+ b|
= c maka Tidak
ada x∈R yang memenuhi persamaan |x +
5| = –6
Latihan :
Hitunglah nilai x (jika ada) yang
memenuhi persamaan nilai mutlak berikut. Jika tidak ada nilai x yang memenuhi,
berikan alasanmu.
a) |4 – 3x| = |–4|
b) 2|3x – 8| = 10
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
Contoh
Tentukan
nilai x yang memenuhi persamaan
|2x
– 1| = |x + 3|.
Jawab
Ubah
bentuk |2x – 1| dan |x + 3|
Berdasarkan
sifat persamaan, bentuk
|2x – 1| =
|x + 3|,
dapat
dinyatakan menjadi
|2x –1| – |x
+ 3| = 0.
Artinya, sesuai dengan konsep dasar
“mengurang”, kita dapat mengurang |2x – 1| dengan |x + 3| jika syarat x sama.
Sekarang, kita harus memikirkan
strategi agar |2x – 1| dan |x + 3| memiliki syarat yang sama. Syarat tersebut
kita peroleh berdasarkan garis bilangan berikut.
dapat disederhanakan menjadi
Akibatnya, untuk menyelesaikan
persamaan
|2x – 1| –|x + 3| = 0,
kita fokus pada tiga kemungkinan
syarat x, yaitu x ≥ ½ atau –3 ≤ x < ½
atau x < –3.
Kemungkinan
1, untuk x ≥ ½.
Persamaan |2x – 1| – |x + 3| = 0
menjadi (2x – 1) – (x + 3) = 0 atau
x = 4.
Karena x ≥
½, maka x = 4 memenuhi persamaan.
Kemungkinan 2, untuk –3 ≤
x < ½
Persamaan |2x – 1| – |x + 3| = 0
menjadi
–2x + 1 – (x + 3) = 0 atau x = – 
.
Karena –3 ≤
x < ½ maka x = – memenuhi persamaan.
Kemungkinan 3, x < –3
Persamaan |2x – 1| – |x + 3| = 0
menjadi
–2x + 1 – (–x – 3) = 0 atau x = 4.
Karena x < –3, maka tidak ada
nilai x yang memenuhi persamaan.
Jadi, nilai x yang memenuhi
persamaan
|2x – 1| = |x + 3| adalah x = 4 atau
x = – .
Latihan soal
Tentukan
nilai x yang memenuhi persamaan
a.
|2y + 5| = |7 – 2y|
b.
|x – 3| + |2x – 8| = 5.
c.
|4x – 3| = –|2x – 1|
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
Menggambar Grafik
---------------------------------------------------------------------------
Contoh
Gambarlah
grafik y = |x| untuk setiap x bilangan real.
Jawab
Kita dapat menggambar dengan
menggunakan beberapa titik bantu pada tabel
berikut.
Koordinat
titik yang memenuhi y = |x|, untuk x ≥ 0
Koordinat
titik yang memenuhi y = |x|, untuk x < 0
Titik-titik yang kita peroleh pada
tabel, kemudian disajikan dalam sistem koordinat
kartesius sebagai berikut.
Latihan
Gambarkan grafik bentuk nilai
mutlak berikut
a. y = |x – 2|
b. y = |x + 2|
c. y =
|2x – 1|
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
Hubungan 
dan |x|
---------------------------------------------------------------------------
= |x|
Contoh
Berdasarkan sifat 
= |x|, maka selesaikan persoalan|2x – 1| = 7
= 72
4x2 – 4x + 1 = 49
4x2 – 4x + 1 – 49 = 0
4x2 – 4x – 48 = 0
x2 – x – 12 = 0
(x – 4)(x +3) = 0
x = 4 atau x = -3
Latihan
Berdasarkan sifat = |x|, maka selesaikan
persoalan |2x – 1| = |x
+ 3|
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
LATIHAN 1
---------------------------------------------------------------------------
1. Tentukanlah nilai mutlak untuk
setiap bentuk berikut ini.
a) |–8n|,
n bilangan asli
b) |
– 3|
c) |
|
d) |12
× (–3) : (2 – 5)|
e) |25
– 33|
f) 
g)
, n bilangan
asli
h)
, n bilangan
asli
2. Manakah
pernyataan berikut ini yang merupakan pernyataan bernilai benar? Berikan
alasanmu.
a)
|k| = k, untuk setiap k bilangan asli.
b)
|x| = x, untuk setiap x bilangan bulat.
c)
Jika |x| = –2, maka x = –2.
d)
Jika 2t – 2 > 0, maka |2t – 2| = 2t
– 2.
e)
Jika |x + a| = b, dengan a, b, x
bilangan real, maka nilai x yang memenuhi hanya x = b – a.
f)
Jika |x| = 0, maka tidak ada x
bilangan real yang memenuhi persamaan.
g)
Nilai mutlak semua bilangan real adalah
bilangan non negatif.
3. Hitunglah
nilai x (jika ada) yang memenuhi persamaan nilai mutlak berikut. Jika tidak ada
nilai x yang memenuhi, berikan alasanmu.
a)
|4 – 3x| = |–4|
b)
2|3x – 8| = 10
c)
2x + |3x – 8| = –4
d) 5|2x – 3| = 2|3 – 5x|
e)
2x + |8 – 3x| = |x – 4|
f)
g) 
h) 
4.
Suatu grup musik merilis album, penjualan per minggu (dalam ribuan) dinyatakan
dengan model s(t) = –2|t – 22| + 44, t waktu (dalam minggu).
a)
Gambarkan grafik fungsi penjualan s(t).
b)
Hitunglah total penjualan album selama
44 minggu pertama.
c)
Dinyatakan Album Emas jika penjualan
lebih dari 500.000 copy. Hitunglah t agar dinyatakan Album Emas.
5. Selesaikan
setiap persamaan nilai mutlak berikut ini.
a)
|2y + 5| = |7 – 2y|
b)
|x – 1| + |2x| + |3x + 1| = 6
c)
|4x – 3| = –|2x – 1|
d) 
e)
–|3 – 6y| = |8 – 2y|
f)
|3,5x – 1,2| = |8,5x + 6|
6. Selidiki
kebenaran setiap pernyataan berikut ini dan berikan alasan untuk setiap
pernyataanmu tersebut.
a)
Untuk setiap x, y bilangan real, |xy| =
|x|.|y|
b)
Untuk setiap x, y bilangan real, 
, y ≠ 0
c)
Untuk setiap x, y bilangan real, |x –
y| = |y – x|
LATIHAN 2
---------------------------------------------------------------------------
1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan:
a.
≤ 1
b.
|2𝑥-7|
< -5
2.
Selesaikan persamaan: –5|x – 7| + 2 =
–13
3.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
- 9 = 8
4.
Tentukan penyelesaian dari persamaan: |–2x|
+ 5 = 13
5.
Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan |𝑥-1| + |𝑥-3| =
2
6.
Tentukan himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |3𝑥-6| > |2𝑥+1|
7.
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2𝑥-1| ≥ 5-𝑥
8.
Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi |𝑥-3| =
2014
9.
Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan |𝑥-20| - 30 =
23
10.
Carilah harga 𝑥 yang memenuhi 
= 6
11.
12.
13.
14.
15.
16.
No comments:
Post a Comment