Soal Matematika Wajib - Integral

Download di Aplikasi Lebih Mudah

Rapi dan Siap Cetak, Klik Disini untuk Download Aplikasi

Modul untuk Bimbel / Materi Belajar Sekolah TK SD SMP SMA lebih lengkap dan lebih mudah di Aplikasi Produk Aqila Klik Disini untuk Download

 

Berikut Link-link Soal-soal SMA Matematika Wajib

• Nilai Mutlak 1
• Nilai Mutlak 2
• SPLTV
• Fungsi
• Fungsi Invers
• Trigonometri
• Induksi Matematika
• Program Linier
• Matrik
• Transformasi Geometri
• Barisan dan Deret
• Limit Fungsi
• Turunan
• Integral
• Dimensi Tiga
• Statistika
• Peluang

 

INTEGRAL

--------------------------------------------------------------------------

 

Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut.

 

 = F(x) + c

 

Jika f ‘(x) = xⁿ, maka f(x) = xⁿ⁺¹ + c, n ≠ -1 dengan c suatu konstanta.

 

1.       Integral Tak Tentu

Teorema 1

Jika n bilangan rasional dan n ≠ - 1, maka ʃ  f(x) dx = xⁿ⁺¹ + c, dimana c suatu konstanta.

Teorema 2

Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka

∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx

 

Teorema 3

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

∫ ( f (x) + g(x))dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx

 

Teorema 4

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

∫ ( f (x) - g(x))dx = ∫ f (x)dx - ∫ g(x)dx

 

Teorema 5

Aturan integral substitusi

Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka ʃ  (u(x))^r u’(x)dx = ⁿ⁺¹ + c, di mana c adalah konstanta dan r ≠ -1.

 

Teorema 6

Aturan integral parsial

Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

∫ u dv = uv - ∫ v du

 

Teorema 7

Aturan integral trigonometri

• ∫ cos x dx = sin x + c

• ∫ sin x dx = - cos x + c

• ∫ dx = tan x + c

di mana c adalah konstanta

 

 

 

 

 

Integral dengan Bentuk

, , dan

Dapat dilakukan dengan menggunakan subtisusi dengan x = a sin t, x = a tan t , x = a sec t. Sehingga

 

 

2.        Integral Tertentu

Jika fungsi f terdefinisi pada interval [a, b], maka adalah integral tertentu terhadap fungsi f dari a ke b. Pengintegralannya dituliskan sebagai berikut.

Teorema Dasar Kalkulus

Teorema 1

Kelinearan

Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta, maka

a.

b.

c.

 

Teorema 2

Perubahan batas

Jika f terintegralkan pada interval [a, b] maka:

a.                                  

b.

 

Teorema 3

Teorema penambahan interval

Jika f terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b, dan c, maka

 

 

 

 

 

Teorema 4

Kesimetrian

a. Jika f fungsi genap, maka

b.       Jika f fungsi ganjil, maka

 

3.        Menentukan Luas Daerah

·        Luas Daerah di Atas Sumbu-x

L(R) =

 

·        Luas Daerah di Bawah Sumbu-x

L(S) =

 

·         Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-x

L(T) =  

 

 

 

 

 

·         Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva

L(U)

=  

=

 

 

4.        Menentukan Volume Benda Putar

·        Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x

 

V = π

 

·         Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y

V = π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·         Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x

V(T)

= π

 

·        Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y

V(U)

= π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Latihan 1

---------------------------------------------------------------------------

1.    Tentukan antiturunan dari fungsi-fungsi berikut:

        a.     f(x) = 2x

        b.    f(x) = –3x

        c.     f(x) =

        d.    f(x) =

        e.     f(x) = ax, untuk a bilangan real.

 

2.    Tentukan antiturunan dari fungsi-fungsi berikut:

        a.     f(x) = 2x²

        b.    f(x) = –3x³

        c.     f(x) = ^-2

d.    f(x) = ^-6

e.     f(x) = axn + m, untuk a bilangan real dan m + n bilangan bulat, m + n  1

 

3.    Tentukan antiturunan dari fungsi-fungsi f(x) berikut:

        a.     f(x) = x^–2

        b.    f(x) = 2x^–3

               c.     f(x) =

        d.    f(x) =

        e.     f(x) = 5

        f.     f(x) =  

        g.     f(x) = 100

        h.    f(x) =   , dengan a, b   R, b  0, n rasional.

 

4.    Tentukan antiturunan f(x) dengan memanfaatkan turunan fungsi g(x) di bawah ini!

        a.     Jika f(x) = 8x³ + 4x dan g(x) = x⁴ + x²

        b.    Jika f(x) =  dan g(x) = x

        c.     Jika f(x) = (x + 2)³ dan g(x) = (x + 2)⁴

        d.    Jika f(x) = (x – 2)^–5 dan g(x) = (x – 2)^–4.

              

5.    Jika gradien m suatu persamaan garis singgung terhadap fungsi f(x) memenuhi m = x² – 1. Tunjukkan dengan gambar bahwa terdapat banyak fungsi f(x) yang memenuhi gradien tersebut.

 

 

Latihan 2

---------------------------------------------------------------------------

1.    Tentukan nilai dari:

        a.    

 

        b.   

       

c.    

 

5.    Tentukan nilai dari :

 

        a.    

       

        b.   

 

        c.    

       

6.    Selesaikanlah integral berikut!

       

        a.    

 

        b.   

 

        c.    

 

7.    Tentukan nilai y jika :

       

        a.    

 

        b.     2x² - 4

 

        c.      

 

8.    Carilah nilai f(x) jika:

        a.     f'(x) = 2x – 1 dan f(0) = 3

        b.    f'(x) =  dan f(1) = 1.

 

9.    Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut:

 

        a.     3x² + 4x – 1, y = 5 di x = 2.

       

        b.     (2x + 1)⁴, y = 6 di x = 0.

 

        c.      -y^2x(x² + 1)⁴, y = 1 di x = 0.

          

 

10. Tentukan persamaan fungsi implisit F(x, y) = 0 yang melalui titik (2, – 1) dan gradien garis singgung di setiap titik (x, y) pada grafiknya ditentukan persamaan y =      

 

11. Tentukan persamaan fungsi f, jika fungsi y = f(x) terdefinisi untuk x > 0 melalui titik (4, 0) dan gradien garis singgungnya di setiap titik ditentukan oleh persamaan f(x) =  + .

 

 

 

12. Tentukan persamaan fungsi f jika grafik fungsi

        y = f(x) melalui titik (1, 2) dan gradien garis singgung di setiap titiknya ditentukan oleh persamaan

        y' = 1 – 16x^–4, x  0.

 

13. Sebuah objek berjalan sepanjang suatu garis koordinat menurut percepatan a (dalam centimeter per detik) dengan kecepatan awal v₀ (dalam centimeter per detik) dan jarak s₀ (dalam centimeter). Tentukan kecepatan v beserta jarak berarah s setelah 2 detik.

        a.     a = t, v₀ = 2, s₀ = 0

        b.    a = (1 + t)^–3, v₀ = 4, s₀ = 6

        c.     a = , v₀ = ₀, s₀ = 10

        d.    a = (1 + t)^–3, v₀ = 4, s₀ = 0

          

 

Latihan 3

---------------------------------------------------------------------------

1.           Proporsi dari pekerja yang mendapatkan upah antara a ribu dan b ribu rupiah/hari adalah y =  dan dibatasi sumbu-x. Terletak di antara a dan b yang bernilai 0 dan 6. Berapakah persentase pekerja yang mendapatkan upah di bawah Rp1.500,00?

 

2.           Sebuah benda bergerak dengan laju v m/det. Pada saat t = 2 detik posisi benda berada pada jarak 30 m dari titik asal. Tentukanlah posisi benda sebagai fungsi waktu t!

 

3.           Sebuah bola bergulir pada sebuah bidang datar dengan laju awal 4 m/det. Akibat gesekan dengan bidang itu, bola mengalami perlambatan 2 m/det². Jika pada saat t = 0 posisi benda berada pada s = 0, berapa jauhkah jarak yang ditempuh bola dari awal sampai berhenti?

 

4.            Ayu dan Bernard berangkat dari tempat yang sama pada saat t = 0. Kecepatan pada waktu t adalah v(t) dan jarak yang dijalani antara t = a dan t = b adalah dt. Kecepatan Ayu seperti kurva yang terlihat pada gambar di bawah ini. Jika sin α = . Berapakah jarak yang ditempuh mereka masing-masing pada saat kecepatannya sama?

          

5.            Sekelompok bakteri dalam suatu lingkungan hidup tertentu berkembang biak sesuai dengan perumusan  = 0,5 N. Jika jumlah bakteri pada keadaan awal adalah 200, hitunglah jumlah bakteri setelah t = 2 detik, t = 4 detik, t = 8 detik, t = 10 detik!

           (Petunjuk: Nyatakan hasil perhitungan dalam e = 2, 71828 . . .)

 

 

Latihan 4

---------------------------------------------------------------------------

1.           Nilai dari  adalah . . . .

           a. 12                                        d. 6

           b. 16                                        e. 4

           c. 10

 

2.           Jika f(x) = ∫ (x² - 2x + 5) dx dan f(0) = 5, maka f(x) = . . . .

           a.  x³ - x² + 5x + 5

           b. x³ - 2x² + 5x + 5

           c. x³ - 2x² + 5x + 5

           d.  x³ - x² + 5x + 5

           e. x³ - x² + 5x + 5

 

3.           Jika b  0 dan , maka nilai b adalah . . . .

           a. 2                                           d. 5

           b. 3                                          e. 6

           c. 4

 

4.           Jika , maka nilai p adalah . . . .

           a.                                         d. 1

           b.                                         e. ½

           c.

5.           Nilai dari  adalah . . . .

           a.                                          

           b.

           c.                              

           d.

           e.

 

6.           Luas bidang yang dibatasi oleh grafik y = 6x² - x dan sumbu-x adalah. . . .

           a.  satuan luas      d.  satuan luas

           b.  satuan luas     e.  satuan luas

           c.  satuan luas

 

7.           Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 7 dan y = 7 - x² diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360°. Volume benda yang terjadi adalah . . . .

           a. 12          d. 2

           b. 11          e. 2

           c. 2

 

8.           Luas daerah terbatas di bawah ini adalah . . . .

          

           a.                           d. 2

           b.                        e. 1

           c.

 

9.           Panjang busur kurva y =  dari x = 0 sampai x = 8 adalah . . . .

           a. 18                     d. 16

           b. 18                         e. 14

           c. 16

10.        Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-y, kurva y = x² + 1, dan kurva y = - x² + 19 adalah . . . .

           a. 3                                           d. 60

           b. 36                         e. 72

               c. 54

Download di Aplikasi Lebih Mudah

Rapi dan Siap Cetak, Klik Disini untuk Download Aplikasi

Modul untuk Bimbel / Materi Belajar Sekolah TK SD SMP SMA lebih lengkap dan lebih mudah di Aplikasi Produk Aqila Klik Disini untuk Download